以下是针对Chrome浏览器插件请求跨域失败的解决方案：
1. 调整后端CORS设置：若你有权访问后端服务器，这是最直接的解决方式。在后端响应头中添加`Access-Control-Allow-Origin`，允许插件所在的域名或`*`（所有域名）进行跨域请求。同时，根据需要配置其他CORS相关头部，如`Access-Control-Allow-Methods`和`Access-Control-Allow-Headers`。
2. 使用代理服务器：设置一个中间代理服务器，插件将所有请求发送到该代理服务器，由代理服务器转发请求到目标服务器。这样，请求对目标服务器来说就是同域的，避免了跨域问题。你可以使用Node.js、Nginx等搭建代理服务器。
3. 利用Chrome扩展的跨域权限：在插件的`manifest.json`文件中声明所需的跨域权限。例如，如果你的插件需要访问特定域名，可以在`permissions`字段中添加该域名。这样，插件就有了对该域名的跨域请求权限。但要注意，滥用此权限可能导致安全风险，确保只请求必要的域名。
4. JSONP回调：如果目标服务器支持JSONP，你可以将请求改为JSONP形式。JSONP通过``标签加载数据，绕过了浏览器的同源策略限制。但这种方法只支持GET请求，且存在安全风险，要确保数据来源可信。
5. 检查SameSite Cookie设置：有时，跨域问题可能与Cookie的SameSite设置有关。你可以尝试在Chrome浏览器中访问`chrome://flags/same-site-by-default-cookies`，将`SameSite by default cookies`设置为`Disabled`，然后重启浏览器再运行项目。但这只是临时解决方案，长期来看，应正确配置Cookie的SameSite属性。